Spots 
A trendszámítás fontos eszköz az adattudományban, ezért érdemes a matematikai alapokat is ismerni, nem csak azt, hogyan valósítod meg egy adatelemző szoftverben. Ebben a blogbejegyzésben lépésről lépésre levezetem a számítást.
A trendszámítás során a cél, hogy találjunk egy olyan függvényt, amely a lehető legjobban illeszkedik az adatpontjainkra. Az adatpontokat tudjuk ábrázolni egy koordináta-rendszerben, ahol az x tengelyen az idő múlása, az y tengelyen pedig a mérni kívánt értékek szerepelnek. Ezek a mérni kívánt értékek lehetnek mondjuk egy vállalkozás adott időpontokban vett bevételei.
A kapcsolat az idő múlása és a bevételek között általában véve nem függvényszerű, tehát nem tudunk pontos értékkel szolgálni a t-edik időpontban arra vonatkozóan, hogy a vállalat bevétele miként alakul. A kapcsolat a két változó között sztochasztikus, ami a gyakorlatban azt jelenti, hogy a tényleges adatpontok egy számunkra ismeretlen, elméleti függvény körül szóródnak, ahogyan az alábbi ábrán is látszik.
Ezt az ismeretlen függvényt nem tudjuk pontosan felírni, csupán egy közelítő megoldást. A lenti példában egy lineáris függvénnyel fogunk közelíteni az adatpontokhoz.
Az SSE (Sum of Squared Errors), valamint az MSE (Mean Squared Error) számítások mindketten arra szolgálnak (legalábbis jelen számítás során), hogy mérjék a különbséget az illesztett egyenes és a tényleges értékek között. Ha kiszámolom adatpontonként a tényleges érték és az illesztett egyenes szerinti érték különbségeinek négyzeteit, majd ezeket összeadom, az az SSE. Ha ezt leosztom az adatpontok számával, az az MSE. Fontos megjegyezni, hogy valójában nem konkrét adatpontokra való illesztés a célunk hanem az, hogy az SSE felhasználásával olyan általános megoldást adjunk, ami bármilyen adott adatsorra kiszámíthatóvá teszi az optimális b0 és b1 paramétereket. A képletekben szereplő jelölések jelentése: yi: az i. adatpont tényleges (megfigyelt) értéke ŷi: az i. adatponthoz tartozó, az illesztett egyenes szerinti (becsült) érték i: az adatpontok indexe (1-től n-ig) ti: az i.
időpont (1, 2, 3, 4, stb.) b0: az egyenes y tengelymetszete b1: az egyenes meredeksége
Szeretnénk minimalizálni az adatpontokon vett MSE-t vagy SSE-t. Igazából mindegy is, hogy melyiket, tekintettel arra, hogy n jelen esetben konstans, így az 1/n szorzó kiesik, amikor a deriváltat nullával tesszük egyenlővé. (Egy pozitív konstanssal való szorzás nem változtatja meg, hogy hol van a függvény minimuma.) Ahol a derivált értéke nulla, ott úgynevezett stacionárius pontot találunk. Ez lehet lokális vagy globális minimum, illetve maximumpont, de nem feltétlenül szélsőérték: az x3 függvény deriváltja az origóban nulla, mégsem szélsőérték, hanem inflexiós pont. Többváltozós függvényeknél nyeregpont is előfordulhat.
Ami miatt ebben a konkrét esetben biztosan globális minimumpontot találunk, az a függvény alakja. Az SSE az egyenes paramétereinek (b0 és b1) másodfokú, felfelé nyíló (konvex) függvénye, ami a parabolához hasonlóan egyetlen minimumponttal rendelkezik.
A csavar az, hogy valójában egy kétváltozós függvényről beszélünk, emiatt parciális deriváltat alkalmazunk. Ilyenkor persze a parabola alak nem teljesen pontos kifejezés, mivel nem kettő, hanem három dimenzióban gondolkodunk: két tengelyen a b0 és b1, a harmadikon pedig az SSE értéke szerepel. Az SSE grafikonja egy úgynevezett konvex elliptikus paraboloid, de ezt nem szükséges tudni a számítás megértéséhez. A lenti ábra egy ilyen konvex paraboloid képét jeleníti meg.
Írjuk fel részletesen az SSE-t, hogy jobban lássuk, milyen problémával nézünk szembe! Az ŷi valójában egy függvény, amely rendelkezik b0 tengelymetszettel, valamint b1 meredekséggel, ami a ti-edik x-tengelybeli értékkel van szorozva minden adatponton.
A trendszámítás fontos eszköz az adattudományban, ezért érdemes a matematikai alapokat is ismerni, nem csak azt, hogyan valósítod meg egy adatelemző szoftverben.